Mengupas Deret Konvergen: Deret ∑ dari n=1 hingga ∞ dari n/2^n

 Mengupas Deret Konvergen: Deret ∑ dari n=1 hingga ∞ dari n/2^n

Deret matematika adalah urutan tak hingga dari suku-suku yang dijumlahkan. Beberapa deret konvergen, artinya jumlah suku-sukunya mendekati suatu nilai tertentu ketika jumlah suku yang dijumlahkan semakin banyak. Salah satu deret yang menarik untuk dipelajari adalah deret ∑ dari n=1 hingga ∞ dari n/2^n.

1. Pengenalan

Deret ini memiliki bentuk sebagai berikut: [ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} ]

Kita ingin membuktikan bahwa deret ini konvergen menggunakan uji rasio.

2. Uji Rasio

Uji rasio adalah salah satu metode untuk menguji konvergensi atau divergensi suatu deret. Kita akan menghitung rasio dua suku berturut-turut dalam deret ini: [ \text{Rasio} = \frac{a_{n+1}}{a_n} ] dengan ( a_n = \frac{n}{2^n} ).

[ \text{Rasio} = \frac{\frac{n+1}{2^{{n+1}}}{\frac{n}{2}n}} = \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} ]

Ketika ( n ) mendekati tak hingga, (\frac{1}{2n}) mendekati nol. Oleh karena itu, batas dari rasio ini adalah (\frac{1}{2}).

3. Kesimpulan

Karena (\frac{1}{2} < 1), berdasarkan uji rasio, deret ini konvergen.

Jadi, deret ∑ dari n=1 hingga ∞ dari n/2^n konvergen. Deret ini memiliki nilai yang mendekati suatu angka tertentu ketika kita terus menambahkan suku-sukunya. Konsep ini memiliki aplikasi luas dalam matematika dan ilmu pengetahuan lainnya. 🌟